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type	date
cours	2024-01-23T13:46:00

Prof : Guillaumat

L'incertain

Intégrer la variabilité dans les modèles

Est-ce vraiment incertain ?

Exemple du lancer de dé

Si on maitrise les paramètres, on baisse la variabilité. On peut lancer un dé en mettant vers le haut toujours le même nombre, alors on voit que la probabilité n'est plus homogène. Même chose pour un pile ou face : si on maitrise le face en haut, la manière de lancer, la vitesse, etc, on peut squew les probabilités

Planche de galton

Si je ne maitrise pas le système, je peix maitriser les phénomènes statistiques, et prédire la distribution à la fin.

Ca donne une loi binomiale (bi = 2 choix à chaque fois)

Loi normale = appelée comme ça car elle correspond à la situation normale.

"L'effet visiteur" : quand on veut montrer un phénomène et qu'il ne fonctionne pas

Facteurs influents

Aléas internes & externes au système

• Conditions climatiques
• Propriétés des matériaux
• Facteur humain
• Chargement mécanique
• etc.

Risque = occurence * impact

Dans nucméaire, on vise des probbilités de défaillance de 10^{-6} (1 chance sur 1 million), parceque l'impact est majeur. C'est l'inverse pour la fiabilité d'une voiture par exemple

Approche mécano-probabilitse

Démarche

Métamodèle

Surface de répons,e plan d'expérience

Comment replacer la physique par un polynôme qui modélise la réalité avec l'avantage de pouvoir faire des calculs de prédiction N rapides au coût du calcul du modèle en amont

Méthode contrainte-résistance

On construit une fonction d'état limite, ou fonction de performance :

G = R - S

Avec :

• G =
• R = Résistance
• S = Sollicitation

Les étapes d’une approche fiabiliste :

1. Définir le modèle mécanique (AMDEC) ;
2. Définir les données probabilistes, ou variables de conception ;
3. Choisir le scénario de défaillance (dimensionnant pour la structure) -> définition de la fonction de performance G = R-S

• Surface d'état-limite
• Domaine de sûreté Ds
• Domaine de défaillance Df

4. Effectuer les calculs de probabilité ;
5. Analyser les résultats, étude de sensibilité.

Fonction Contrainte-Résistance

Intégrale de la partie verte = G négatif,

Calcul par intégration

Méthode de Monté-Carlo

Méthode bruteforce dans laquelle on réalise les tirages

On prend une valeur de chaque distribution de S & R, et on les compare

On fait plein de comparaisons, et au bout d'un moment, en comptant les résulatts des comparaisons, on obtient la proba G

Beaucoup de calculs à faire ! 10^{n+2} tirages

En python, utiliser :

normrnd(moyenne, ecart type, [ ])

On part d'une loi uniforme (distribution avec même proba en chaque nombre) et on la multiplie par une fonction de distribution

Illustration qu'il faut N de tirages pour que la distribution fasse sens. Ici pour l'illustrer on reconsrtuit la distribution uniforme en refaisant la trsnformationà l'envers

Méthode FORM/SORM

First (& Second) Order Reliability Method

P = l'argument -beta dans la loi centrée réduite

L'argument -B esite dans un repère spécial centré autour de 0

Exemple : Comparaison entre FORM & Monté-Carlo

Coefficient de variation = \frac{\sigma}{moyenne} Donne la valeur de l'ecart type en fx de la moyenne, permet d'avoir une idée générale de l'importance de l'écart-type

Pour des très petites probabilités, monte carlo, qui repose sur beaucoup d'essais, ne fonctionne plus alors que FORM, qui est analytique, on peut la calculer pour toute valeur.

Démonstration

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Décrochage absolu sur l'explication de FORM/SORM

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Application 1

On veut transformer les distributions qu'on a en gaussienne centrée réduite

Il faut pour cela faire un cahngelent de variable

\frac{x-moyenne}{\sigma_x} = \frac{u-0}{1}

2.70 :

1-0.99653 = 0.00347

P = \Phi(-\beta)=1-\Phi(\beta)=0.00347

Aka : 0.35% de change de rupture

Application 2 : cas non hyper-plan

Si l'équation de H n'est pas un hyper-plan, on fait de grosses erreurs

Avec la méthode SORM ("Second order") on réduit l'erreur

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